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[기술특집] FDTD법에 의한 뇌서지 해석 기술
2009년 9월 4일 (금) 16:13:00 |   지면 발행 ( 2009년 8월호 - 전체 보기 )

FDTD법에 의한 뇌서지 해석 기술


개요

일본에서는 용지(用地) 보호의 어려움 등의 이유로 전력선을 수직으로 배열해 2회선을 철탑의 양 끝에서 떠받치는 형태의 송전선이 거의 대부분이다.
이로 인해 일본에서는 철탑고가 지나치게 높으며, 철탑 뇌격 시 소호각 사이에 발생하는 과전압은 주로 접지저항이 아닌 철탑의 서지 임피던스에 의해 결정된다. 따라서 일본에서는 발 · 변전소나 송전선의 뇌서지 해석에서 철탑의 서지 임피던스를 정확히 산출하는 일이 중요하며, 이에 관한 많은 연구가 이루어졌다. 철탑은 대지에서 수직인 도체이기 때문에, 대지에서 수평인 도체를 해석하기 위한 분포정수회로론으로는 정확한 해석을 할 수 없어 Maxwell 방정식에 바탕을 둔 보다 근원적인 전자계 해석이 필요하게 됐다. 또한 이 해석은 해답을 구하는 일이 아주 어려워 Maxwell 방정식을 수치적으로 풀 수치전자계 해석 방법을 적용하게 됐다.
수치전자계 해석 방법 가운데서도 FDTD법(Finite Difference Time Domain Method : 유한차분 시간영역법)은 Maxwell의 기본 전자방정식에 나타나는 공간 및 시간에 관한 미분항을 그대로 차분으로 바꿔서 계산하기 때문에 굉장히 단순한 계산 원리에 의거한다. 공간 단위를 △s, 시간 단위를 △t로 표시할 때, 전계와 자계의 공간 표본점 및 시간 표본점을 각각 △s/2 , t/2만큼 뒤로 물리고 정의 하면, 차분에 중심차분을 이용함에 따라 △t/2 전의 자계로부터 전계를, △t/2 전의 전계로부터 자계를 번갈아 산출하면서 계산할 수가 있다. FDTD법은 모멘트법 등 다른 방법과 비교해 직감적으로 이해하기 쉬우며, 수치 안정성이 뛰어나 다루기 쉽기 때문에 입문자에게 최적인 수치전자계 해석 방법 중 하나이다.

FDTD법으로 뇌서지 해석 시 문제점과 그 해결책

FDTD법은 원래 안테나 해석, 마이크로파 해석분야에 발달한 해석법이기 때문에, 이들 분야에서 필요한 각종 해석 기술에 관해서는 많은 개발이 이루어져 왔다. 따라서 뇌서지 해석에 FDTD법을 적용할 경우에도 이러한 해석 기술은 유용할 수 있다. 그러나 뇌서지 해석 특유의 문제도 존재하기 때문에 이를 해결하기 위해 다음과 같은 연구가 이루어져 왔다.

1. 세선도체 모의
FDTD법을 이용한 해석에서 공간 단위보다도 가는 지름의 와이어 도체를 세선도체라고 한다. 전력유통설비 해석에서는 전선이나 변 · 발전소 모선, 각종 철구의 부재 등을 모의하기 위해, 일반 건축물해석에서는 건축물의 철골이나 철근 등을 모의하기 위해서 세선도체의 모의는 필수불가결하다. FDTD법에서 세선도체를 아주 정밀하게 모의하기 위한 연구는 안테나 해석, 마이크로파 해석 분야에서도 행해져 왔다. 다만 이들 분야에서는 세선도체에 입사한 전자파의 산란이라고 하는 대단히 빠른 시간 영역의 현상을 정확하게 모의하는 일을 주목적으로 한다. 한편, 뇌서지 해석에서는 세선도체 위를 전반하는 진행파를 해석하는 일이 중요하기 때문에, 준정상 상태에서의 전압과 전류의 비(比)인 서지 임피던스의 정확한 모의 등 비교적 차분한 현상의 모의가 주목적이다. <문헌 (1)>에서는 공기 중이나 진공 중 등 절연물 중에 놓인 세선도체의 지름을 정확히 모델화하기 위해 다음과 같은 방법을 제안하고 있다. 공간 단위를 △s, 세선도체의 반지름을 r이라고 할 때 계수 m을


에 의해 산출하여 세선 주변의 4개의 법선 방향 성분의 전계를 계산할 때에 이용하는 유전율을 m배, 세선을 둘러싼 4개의 주방향 자계 성분을 계산할 때의 투자율을 1/m배로 함에 따라 등가적으로 세선의 지름을 표현한다. 이 방법은 유전율과 투자율의 적(積)을 변화시키지 않기 때문에 계산되는 서지의 전반 속도에 영향을 주지 않는 특징이 있다. <문헌 (1)>에서는 알루미늄 파이프의 반지름이나 높이를 변화시켜서 서지 임피던스를 측정한 결과와 ①의 식을 이용한 FDTD 시뮬레이션의 결과가 일치함을 보여준다. 또한 <문헌 (2)>에서는 위와 같은 방법으로 흙 속 등 불완전 도체 속에 매설된 세선도체의 지름을 정확하게 표현하는 방법을 제안하고 있다. 불완전 도체 속의 경우에는 유전율과 투자율을 포함해 도전율에 관해서도 수치를 수정한다.

2. 경사 세선도체 모의
극좌표계에 의거한 FDTD법도 존재하지만, 대부분의 경우는 범용성이 높은 직교 좌표계가 사용되고 있다. 직교 좌표계를 이용한 경우, x, y, z의 좌표축 가운데 어느 것이 평행한 세선도체라면 해당하는 셀 주변의 전계를 0으로 표현할 수 있다. 한편 x, y, z의 어느 좌표축도 평행하지 않은 세선도체를 모의할 경우에는 셀 주변을 따른 계단 근사로 하든지 특별한 취급이 필요하다. 계단 근사를 선택할 경우에는 세선도체의 경로가 지그재그로 실현되기 때문에 총 연장이 실제 길이보다도 길어져 버려 외관상 전반 속도의 저하가 염려됐다. 그래서 <문헌 (3)>에서는 세선도체의 좌표축에 대한 경사도를 변화시킨 수많은 케이스를 계산해 외관상 전반 속도의 저하는 적어지고, 경사가 최대가 되는 경우에도 전반 속도의 저하가 14% 이하인 것을 발견했다. 또한 지그재그 경로를 전자파가 전반할 때 2개의 세선 요소가 직각에 배치된 부분에서 공유하는 자계 성분이 생기기 때문에 총 연장에 단순히 비례해 외관상 전반속도가 저하하는 일도 없음을 제시했다. <문헌 (4)>에서는 삼각주 셀을 이용해 경사 세선도체를 모의하는 방법을 제안하고 있다. 이 방법은 2차원 경사에 밖에 적용할 수 없지만 외관상 전반 속도의 저하를 막는 데 효과적이다.

3. 임의의 형상 도체 모의
뇌서지 해석에서는 여러 가지 형상의 도체를 다룰 필요가 있다. 예를 들어 변전소의 뇌서지 해석에서는 변전소에 놓인 여러 설비의 형상을 모의할 필요가 있다. <문헌 (5)>에서는 비 직육면체 셀 형상을 이용해 임의의 형상 도체를 모의하는 방법에 대해 검토하고 있다. <문헌 (4)>에서는 비 직육면체 셀을 이용해 도체 평면상에 가설된 대구경 원통 도체상의 서지 해석을 하고 있다. 또한 이 문헌에서는 직육면체 셀을 이용한 경우에는 바르게 산출되지 않은 원형 도체상의 전류 밀도 분포가 비 직육면체 셀을 이용하면 올바르게 산출되는 것을 나타냈다. 그와 함께 비 직육면체 셀을 이용한 경우에 계산 시간 단위를 옳게 설정하기 위한 Courant 조건이나 비 직육면체 셀을 이용한 경우의 흡수 경계 조건 설정법에 관해서도 검토를 하고 있다. 또한 위에서 말한 도체 평면상의 대구경 원통 도체에 관한 해석은 가스절연 변전소의 GIS(가스 절연 개폐장치) 탱크 위를 전반하는 서지 해석에 응용할 수 있다.

4. 뇌 방전로 모의
뇌서지 해석에 필요한 독특한 것으로 뇌 방전로 모델이 거론된다. 귀환뇌격 전류의 진전 속도는 광속의 1/3 정도로 알고 있으나, 뇌도(雷道) 모델로 세선도체를 이용하면 귀환뇌격은 광속과 비슷하게 진전해 버린다. 그래서 집중정수 인덕턴스 모델을 직렬 접속하고, 인덕턴스 수치를 변화시킴으로써 귀환뇌격의 진전 속도를 제어할 수 있는 뇌 방전로 모델이 <문헌 (6)>에 제안되고 있다. 또한 이 문헌에서는 공간 단위의 크기를 파라미터로서 진전 속도와 인덕턴스 수치의 관계를 명확히 하고 있으며, 진전 속도와 공간 단위가 주어지면 인덕턴스 수치를 설정할 수 있다.
고(高) 구조물 뇌격 시 구조물 다리 부분 및 꼭대기 부분에서의 서지파 반사계수를 이미 알고 있는 경우나, 대지 뇌격의 경우 뇌 방전로를 따라 다수의 전류원을 두고 전류 진전 속도가 바라는 수치가 되도록 전류원들을 여진(励振)하는 뇌 방전로의 공학모델도 효과가 있다.
이러한 고(高)정밀도의 뇌서지 해석 방법의 확립을 통해 가장 큰 혜택을 받은 것은 시험전압표준(JEC 0102-1994)의 개정이라 하겠다. 산화아연형 피뢰기의 고성능화, 개폐장치로서 가스 절연기기의 보급, 부분방전 측정 및 평가 기술의 진보와 더불어, 다양한 형태로 변전소에서 EMTP 해석을 정교하고 치밀하게 실시, 변전소 내의 과전압을 평가함으로써 각 전압 계급의 변전소 기기의 LIWV를 저감할 수 있으며 UHV 송전선 등 송 · 변전설비의 비용 절감에 기여했다. <그림 3>은 LIWV의 변천에 관한 것이다.

5. 해석 공간의 부등분할
FDTD법은 전 해석 공간의 전계 및 자계를 미지수로 하기 때문에 다량의 메모리를 필요로 한다. 따라서 메모리의 절약과 이에 따른 계산 시간의 단축은 분야에 관계없이 중요한 과제이다. 특히 뇌서지 해석 분야에서 크게는 뇌 방전로에서 작게는 소형전기기기까지 동시에 다룰 필요가 있기 때문에 작은 사이즈의 해석 대상에 맞춰 공간 단위를 설정하면 큰 사이즈는 다룰 수 없는 문제가 누차 발생한다.
그래서 공간 단위를 등 간격이 아닌 부등 간격으로 해 작은 사이즈의 해석 대상이 존재하는 분야는 조밀하게, 그렇지 않은 분야는 크게 분할하는 방법이 이용되고 있다. <문헌 (7)>에서는 FDTD와 유사한 알고리즘인 F1법(Finite Integral Technique : 유한적분법)에 부등분할을 적용해 접지극의 과도 임피던스를 계산했다. 접지극 근방만을 세밀하게 분할함으로써 접지극의 형상을 정확하게 표현함과 동시에 메모리 및 계산 시간을 절약하고, 실측 결과와 일치하는 결과를 얻을 수 있는 것으로 보고됐다. <문헌 (8)>에서는 FDTD법을 이용한 배전선 유도뢰 해석에 해석 공간 부등분할을 적용해 배전선과 뇌방전로의 근방을 세밀하게 분할함으로써 높은 효율과 정밀도를 얻을 수 있는 계산이 가능하다고 나타났다. 게다가 <문헌 (9)>에서는 부등분할을 적용한 경우의 세선도체 모의에 관해서 검토했으며, 그 결과를 이용해 변전소 구내의 매설지선을 흐르는 전류로부터 지상에 가설된 제어선에 유도된 전압을 계산했다. 이 계산을 통해 대략 100m×100m×100m의 해석 공간에서 단면적 8㎟의 세선도체를 높은 정밀도로 모의하는 일에 성공해 실측 결과와 양호한 일치를 보이는 계산 결과를 얻었다

FDTD법에 의한 해석 사례

1. 접지극의 과도 응답 해석
FDTD법을 서지 해석에 적용한 최초의 사례는 <문헌 (10)>의 접지극의 과도 응답 해석이다. 그 속편의 문헌에서는 <그림 1>의 (a)에 나타난 배치로 실측(<그림 1-b> 참조) 및 FDTD법에 의한 해석(<그림 1-c> 참조)을 했으며, 두 결과가 비슷하게 일치함을 확인할 수 있다.



2. 송전철탑의 뇌격 응답 해석
<문헌 (11)>에서는 FDTD법을 이용해 500㎸ 송전철탑의 지렛대나 주된 사재(斜材), 땅 속 기초 구조 및 대지저항률을 고려한 뇌격 응답 해석을 다루고 있다(철탑 구조 모의의 양자는 <그림 5> 참조). <그림 2>는 탑 꼭대기의 전위 상승 시험에 관해 실측결과와 계산 결과를 비교한 것이다. 대략 스텝상의 전류를 주입했을 때의 탑 꼭대기의 전위 상승 파형은 계산 결과가 실측 결과를 재현하고 있다. 특히 중요한 전위 상승의 최대치는 약 2%의 오차로 일치한다. <문헌 (11), (12)>에는 뇌 방전로 모델을 이용해 귀환뇌격의 진전 속도를 광속의 1/3로 하여 같은 철탑의 소호각 사이 전압을 계산한 결과도 나타냈다.



3. 기중절연 변전소 모선의 뇌서지 해석
기중절연 변전소의 모선 위를 전반하는 서지를 높은 정밀도로 시뮬레이션 하기 위해서는 모선상 간의 상호유도는 물론 회선 간의 상호유도나 모선 수직부에 대한 고려가 필요하다. EMTP를 이용한 기존의 해석에서는 이러한 고려들이 용이하지 않지만, FDTD법을 이용하면 도체 구조를 입력하는 것만으로 자동적으로 고려된다. <그림 3>의 (a)는 어떤 기중절연 변전소의 1/10 축소 모델을 작성해 송전선 인입구에 뇌서지 모의 펄스를 가했을 때의 변압기단 전압 파형을 측정한 결과이다. <그림 3>의 (b)는 이것을 FDTD법으로 재현 설계한 것으로 실측 결과와 일치한다.



4. 배전선 유도뢰 해석
대지에 수직한 뇌 방전로 위를 진전하는 귀환뇌격 전류에서의 방사전자파에 의해 근방 배전선 위에 유도된 것이 배전선 유도뢰이다. 배전선 유도뢰 해석이란 불완전 도체 대지상의 복잡한 전자파 현상을 해석하는 것으로 FDTD법이 유용하다. <문헌 (6), (8), (13)>에서는 배전선 유도뢰 해석에 FDTD법을 이용했으며, 그 결과를 각종 검토 및 실측 결과와 비교했다.

5. 빌딩 뇌격 시 내부 자계 분포 해석
요즘 저전압의 전자기기가 많이 사용됨에 따라 전자계 노이즈에 의한 기기의 오작동이 주목을 받고 있다. <문헌 (14)~(16)>에서는 <그림 4>의 (a)에 나타난 것처럼 건축물 철골 구조의 축소 모델을 이용해 건축물 뇌격 시 내부에 발생하는 전자계 해석이 이루어졌다. <그림 4>의 (b), (c)는 모의 뇌격 전류를 이 건축물 축소 모델에 주입했을 때 <그림 4>의 (a)에서 사선으로 나타난 층에 발생한 자계강도분포를 실측과 FDTD법 계산에서 비교한 것이다.
분포도는 지면 관계상 어떤 시각(전류 발생으로부터 25㎱ 후)에서의 분포만을 농담으로 나타냈지만, 시간의 경과에 따라 애니메이션 표시로 나타내도 두 결과는 일치한다.

앞으로의 전개

FDTD법을 이용한 뇌서지 해석 사례를 소개했지만, 아직 FDTD법을 뇌서지 해석에 실용적으로 적용하려면 문제점도 많다. 현재 상황에서 고려되는 문제점을 열거하면 다음과 같다.

① 세선도체 모의에 관한 문제



세선도체 모의 방법을 이용한 경우, 공간 단위의 약 10%보다도 작은 반지름의 세선도체를 모의하려고 하면 계산이 불안정하게 된다. 이 수치 불안정을 피하기 위해 모델화하고 싶은 세선도체를 지름에 맞춰 공간 단위를 작게 하면 광대한 메모리 및 계산 시간을 필요로 하게 된다.

② 공간의 부등분할에 관한 문제
안정적인 수치로 계산을 진행하기 위해서는 계산 시간 단위 △t와 공간 단위 △s는 다음과 같은 식의 Courant 조건을 만족시킬 필요가 있다.



단, 그리드(Grid) 분산에 따른 오차는 위의 식의 양변을 같이 했을 경우 최소가 된다. 따라서 수치 안정성을 확보하면서 오차를 최소화하기 위해 통상 △t는 위의 식의 양변을 똑같이 했을 경우의 값보다 조금 작은 값이 선택된다. 등분할의 경우에는 이처럼 △t를 결정하면 되지만, 부등분할의 경우에는 장소에 따라 △s의 값이 다르기 때문에 △t를 결정할 수 없다. 또한 현재로서는 부등분할을 선택한 경우의 그리드 분산에 따른 오차가 명확히 정해져 있지 않다.

③ 비선형 요소의 취급에 관한 문제
뇌서지 해석에서는 피뢰기나 각종 방전 현상을 다루고 싶어 하지만, 이들은 인가전압에 의해 그 임피던스를 변화시키는 비선형 요소이다. 그러나 표준적인 FDTD법에 비선형 요소를 대입시키면 대부분의 경우 수치 불안정 문제가 발생한다.
이상 앞으로 이 분야에서의 연구개발은 앞에서 논한 문제점을 해결하는 방법을 중심으로 이루어져야 한다. 이를 테면 ①을 해결하는 극세선도체 모델의 개발, ②에 대처하는 공간을 부등분할한 경우 오차의 정량적 평가와 정밀도 개선 방안의 개발, ③의 문제 해결을 위해 FDTD법에 비선형 요소를 수치적 안정에 대입하는 방법의 개발이 앞으로 해야 할 연구개발의 중심이다.
또한 실용적 측면에서는 발 · 변전소에 뇌서지가 침입했을 경우(혹은 단로기 서지 발생 경우) 각종 저압선, 제어선에 유도되는 과전압이나 노이즈 해석이라고 하는 상당히 복잡한 기하하적 배치를 실제 모델화한 해석이 진행될 것으로 여겨진다. 따라서 이와 같은 실용적 해석에서는 데이터 입력 작업을 효율화하는 그래피컬 유저 인터페이스의 개발도 중요해지고 있다. <그림 5>는 일본 전력중앙연구소에서 개발한 그래피컬 유저 인터페이스로 앞에서 논한 500㎸ 송전철탑의 도체 구조를 나타낸 것이다.

마무리

본고에서는 FDTD법을 이용해 뇌서지 해석을 한 경우 발생하는 문제점과 그 해결책에 관해 살펴봄과 동시에, 실제 해결 사례를 소개하고 앞으로의 연구개발 전개에 대해서도 논했다. 본고가 FDTD법의 뇌서지 해석 응용발전에 도움이 됐으면 하는 바람이다.

[참고문헌]

(1) T. Noda and S. Yokoyama : Thin Wire Representation in Finite Difference Time Domain Surge Simulation, IEEE Trans., Power Delivery, Vol. 17, No 3, pp. 840-847 (2002-7)
(2) Y. Baba, N. Nagaoka and A. Ametani : Modeling of Thin Wires in a Lossy Medium for FDTD Simulations, IEEE Trans., Electromagnetic Compatibility, Vol. 47, No. 1, pp. 54-60 (2005-2)
(3) T. Noda, R. Yonezawa, S. Yokoyama and Y. Takahashi : Error in Propagation Velocity Due to Staircase Approximation of an Inclined Thin Wire in FDTD Surge Simulation, IEEE Trans., Power Delivery, Vol. 19, No. 4, pp. 1913-1918, Oct. 2004.
(4) · 馬場吉弘 · 長岡直人 · 雨谷昭弘: FDTD법에 의한 사행도체와 원통 도체상 서지의 고정밀도 해석, B, 123,6, pp.725-733 (2003)
(5) M. Hano and T. Itoh : Three-Dimensional Time-Domain Method forr Solving Maxwell's Equations Based on Circumcenters of Elements, IEEE Trans., Magnetics, Vol. 32, No. 3, pp. 946-949 (1996-5)
(6) 立松明芳 · 野田 琢 · : FDTD법에 의한 배전선 유도뢰 전압 계산법의 개발, H04009 (2005-7)
(7) 河本 正: 유한적분법에 의한 삼차원 과도 접지저항 해석, 平成17年 全大7-090.
(8) 岡澤光起 · 岡 洋平 · 馬場吉弘 · 長岡直人 · 雨谷昭弘 · 島添道裕: 가공(架空) 배전선 유도뢰 서지의 삼차원 가변 메쉬법을 이용한 해석, 放電 · 開閉保護 · , ED-05-126, SP-05-64, HV-05-68 (2005)
(9) 立松明芳 · 野田 琢 · 山本英器 · : FDTD법에 의한 매설지선에서 제어선으로의 유도전압 계산 검토, 放電 · 開閉保護 · , ED-05-128, SP-05-66, HV-05-70 (2005)
(10) : FDTD법을 바탕으로 한 전력설비의 과도 접지저항 해석 방법, B, 120, 8/9, pp. 1119-1126 (2000)
(11) 野田 琢 · · : FDTD법에 의한 해석 결과를 이용한 새로운 뇌서지 계산용 철탑 모델, H04012 (2005-5)
(12) T. Noda, A. Tatematsu, and S. Yokoyama : Improvements of an FDTD-Based Surge Simulation Code and Its Application to the Lightning Overvoltage Calculation of a Transmission Tower, Proc. IPST (Int. conf. on Power Syst. Transients) 2005, Paper #IPST05-138, Montreal, Canada (2005)
(13) Y. Baba and V. A. Rakov : Voltages Induced on an Overhead Wire by Lightning Strikes to a Nearby Tall Grounded Object, IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility, Vol. 48, No. 1, pp. 212-224 (2006-2)
(14) R. Yonezawa, K. Miyajima, T. Noda, S. Yokoyama, Y.
Takahashi : Measurement of Magnetic Field Distribution inside 3-D Structure Due to Lighting Current and Its FDTD Simulation, Proc. IWHV(Int. Workshop on High Voltage eng.) 2003, ED-03-38, SP-03-27,HV-03-27 (2003)
(15) , 고도 정보화 사회에도 대응, 전력 공급 설비를 지키는 전력 중앙 연구소의 대처-주목을 불러 모으는 빌딩 전자계 대책, 2005年1月25日
(16) 立松明芳 · 野田琢 · · : FDTD법을 이용한 건축물 뇌격 시 내부 과도 전자계 해석 코드 개발, H05007 (2006-6)

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